\chapter{热历史}

在本章中，我们将描述宇宙历史上的前三分钟，\footnote{温伯格\textnote{Weinberg}的著作《前三分钟》\textnote{The First Three Minutes}对宇宙学的这一部分有一个很好的通俗描述。}
从暴胀后又热又稠密的状态开始。
在早期，宇宙的热力学性质是由局部平衡所决定的。
然而，正是对热平衡的偏离使生活变得有趣起来。
正如我们将看到的，非平衡动力学允许有质量的粒子获得宇宙丰度，因此解释了为什么这儿有\textnote{这些粒子}而不是没有。
平衡的偏离对于理解宇宙微波背景的起源和轻化学元素的形成也是至关重要的。




在$\S 3.1$中，我们将对形成宇宙热历史的基本原理进行简要描述。
这提供了这个故事的概述，在本章的其余部分将进行更加详细补充：在$\S 3.2$中，我们将介绍膨胀宇宙中的平衡态热力学，而在$\S 3.3$中，我们会引入玻尔兹曼方程，并将其应用于几个非平衡态物理学的例子中。
我们将使用玻尔兹曼常数等于1的单位制，$k_{\mathrm{B}} \equiv 1$，因此温度具有能量的单位。


\section{热大爆炸}


了解宇宙热历史的关键是相互作用速率$\Gamma$和膨胀速率$H$间的比较。
当$\Gamma \gg H$时，粒子相互作用的时间尺度远小于特征膨胀时间尺度：
\begin{equation}
	t_c \equiv \frac{1}{\Gamma} \ll t_H \equiv \frac{1}{H} .
\end{equation}
然后在膨胀效应变得重要之前，局域热平衡已经达到。
随着宇宙的冷却，相互作用的速率通常比膨胀速率下降得更快。
在$t_c \sim t_H$时，粒子从热浴中退耦。
不同种类的粒子具有不同的相互作用速率，因此在不同的时间退耦。




\subsection{局域热平衡}

让我们首先证明，温度在几百$\mathrm{GeV}$以上时，标准模型的过程满足（3.1.1）的条件。
我们将粒子相互作用的速率写成\footnote{对于$1+2 \leftrightarrow 3+4$这种形式的过程，我们将粒子1的相互作用速率写成$\Gamma_1=n_2 \sigma v$，其中$n_2$是粒子2的密度，$v$是1和2的平均相对速度。粒子2的相互作用速率也写为$\Gamma_2=n_1 \sigma v$。我们期望在高能状态下$n_1 \sim n_2 \equiv n$。
}
\begin{equation}
	\Gamma \equiv n \sigma v,
\end{equation}
其中$n$是粒子的数密度，$\sigma$是它们的相互作用截面，$v$是粒子的平均速度。
对于$T \gtrsim 100 \mathrm{GeV}$，所有已知的粒子都是极端相对论性的，因此$v \sim 1$。
由于在此极限下粒子的质量可以被忽略，因此唯一有量纲的标度是温度$T$。
量纲分析给出$n \sim T^3$。
相互作用由规范玻色子传递，在电弱对称性破缺的尺度之上，这些玻色子是无质量的。
强相互作用和电弱相互作用的截面具有相似的依赖性，这也可以使用量纲分析进行估计给出\footnote{方程（3.1.3）中所示的费曼图，是交换规范玻色子$2 \rightarrow 2$的散射过程。
	每个顶点贡献的规范耦合系数$g_A \propto \sqrt{\alpha}$。
	截面对$\alpha$的依赖性按如下方式给出，对由费曼图中得出的对$\alpha$的依赖进行平方，即$\sigma \propto$ $(\sqrt{\alpha} \times \sqrt{\alpha})^2=\alpha^2$
}
\begin{equation}
	\sigma \sim\left| \rule{0em}{2em}
\begin{gathered}
\includesvg[height=2em]{picture/0041.svg}
\end{gathered}
	 \right|^ 2 \sim \frac{\alpha^2}{T^2},
\end{equation}
其中$\alpha \equiv g_A^2 / 4 \pi$是与规范玻色子$A$相关的广义结构常数。
我们发现
\begin{equation}
	\Gamma=n \sigma v \sim T^3 \times \frac{\alpha^2}{T^2}=\alpha^2 T .
\end{equation}
我们希望将其与哈勃速率$H \sim \sqrt{\rho} / M_{\mathrm{pl}}$进行比较。
同前面一样，可用量纲分析给出$\rho \sim T^4$，于是有
\begin{equation}
	H \sim \frac{T^2}{M_{\mathrm{pl}}} .
\end{equation}
（3.1.4）和（3.1.5）的比值为
\begin{equation}
	\frac{\Gamma}{H} \sim \frac{\alpha^2 M_{\mathrm{pl}}}{T} \sim \frac{10^{16} \mathrm{GeV}}{T},
\end{equation}
其中，我们在数值估计中使用了$\alpha \sim 0.01$。
低于$T \sim 10^{16} \mathrm{GeV}$，但高于100 $\mathrm{GeV}$，因此条件（3.1.1）被满足，标准模型的所有粒子均处于热平衡态下。


当粒子充分地交换能量和动量后，它们达到了最大熵的状态。
这是统计力学中的一个标准结果，即相空间中每单位体积的粒子数\textnote{其分布函数}采取如下形式\footnote{精确公式将包括化学势\textnote{见下文}。
}
\begin{equation}
	f(E)=\frac{1}{e^{E / T} \pm 1},
\end{equation}
其中，$+$号对应费米子，$-$号对应玻色子。
当温度降到低于粒子质量\textnote{$T \ll m$}时，，它们变成非相对论的，其分布函数受到指数抑制$f \rightarrow e^{-m / T}$。
这意味着相对论性的粒子\textnote{“辐射”}主导了原初等离子体的密度和压强。
因此，通过对所有相对论粒子求和可以很好地的对总能量密度做近似，$\rho_r \propto \sum_i \int \mathrm{d}^3 p f_i(p) E_i(p)$。
结果可以写成\textnote{见下文}
\begin{equation}
	\rho_r=\frac{\pi^2}{30} g_{\star}(T) T^4,
\end{equation}
其中$g_{\star}(T)$是相对论自由度数。\myfootnote{即相对论性的各种粒子的自由度数目之和。}
图$3.1$显示了在标准模型粒子内容假设下$g_{\star}(T)$的演变。
在早期，所有粒子都是相对论性的，$g_{\star}=106.75$。
每当宇宙的温度降到各粒子的质量以下时，$g_{\star}$的值就会降低，并且各粒子就变成非相对论的。
今天，只有光子和\textnote{也许}中微子仍然是相对论的，$g_{\star}=3.38$。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0042-1.svg}
	\caption{在标准模型假设下，相对论自由度的演变。
	}
\end{figure}









\subsection{退耦与冻结}


如果平衡一直持续到今天，宇宙将主要是光子。
任何有质量的粒子都会被指数抑制。\footnote{这对重子来说不太正确。由于重子数是标准模型的一种对称性，重子数密度即使在平衡态下也可以保持相当大的值。
}
因此，为了理解我们周围的世界，了解导至有质量粒子冻结的平衡态偏离是至关重要\textnote{见图3.2}。
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0042-2.svg}
	\caption{粒子冻结示意图。在高温下，$T \gg m$，粒子丰度紧随其平衡值。在低温下，$T \ll m$，粒子冻结，维持的密度远大于尔兹曼抑制下平衡态的丰度。
	}
\end{figure}



在电弱对称破缺标度以下，$T \lesssim 100 \mathrm{GeV}$，弱相互作用的规范玻色子$W^{\pm}$和$Z$，将获得质量$M_W \approx 80 \mathrm{GeV}$和$M_Z \approx 90 \mathrm{GeV}$。
传递弱力相关过程的横截面变为
\begin{equation}
	\sigma \sim \left|  
	\begin{gathered}
			\includesvg[height=2em]{picture/0043.svg}
		\end{gathered}
	\right|^{2}  \sim G_F^2 T^2
\end{equation}
这里我们引入了费米常数，\footnote{其中$1 / M_W^2$来自于有质量规范场中传播子的低动量极限。
}
$G_F \sim \alpha / M_W^2 \sim 1.17 \times 10^{-5} \  \mathrm{GeV}^{-2}$。
注意到，当宇宙温度下降时，弱相互作用的强度会降低。
我们发现
\begin{equation}
	\frac{\Gamma}{H} \sim \frac{\alpha^2 M_{\mathrm{pl}} T^3}{M_W^4} \sim\left(\frac{T}{1 \mathrm{MeV}}\right)^3
\end{equation}
在$T_{d e c} \sim 1 \mathrm{MeV}$后降到低于$ 1 $。
因此仅通过弱相互作用与原初等离子体相互作用的粒子在$1 \mathrm{MeV}$左右退耦。
这种弱相互作用尺度的解耦对宇宙的热历史有着重要的影响。


\subsection{宇宙史简介}

\begin{table}[htbp]
	\centering
	\begin{tblr}{
		hline{1,2,Z} = {1.5pt,},
		colspec = {lrrr},
		row{2,Z} = {green!20},
	}
		\textbf{事件}&	\textbf{时间}$ t $&	\textbf{红移}$ z $&	\textbf{温度}$ 	T $\\
		奇点&$ 0 $&$ \infty $&$ \infty $\\
		量子引力&$\sim 10^{-43} \mathrm{~s} $&---&$ \sim 10^{18} \mathrm{GeV}$\\
		暴胀&$\gtrsim 10^{-34} \mathrm{~s}$&---&---\\
		重子生成&$\lesssim 20 \mathrm{ps} $&$>10^{15} $&$>100 \mathrm{GeV}$\\
		EW相变&$20 \mathrm{ps} $&$ 10^{15} $&$ 100 \mathrm{GeV}$\\
		QCD相变&$20 \mu \mathrm{s}$&$10^{12}$&$150 \mathrm{MeV}$\\
		暗物质冻结&$?$&$?$&$?$\\
		中微子退耦&$1 \mathrm{~s} $&$ 6 \times 10^9$&$1 \mathrm{MeV}$\\
		正负电子湮灭&$6 \mathrm{~s} $&$ 2 \times 10^9 $&$ 500 \mathrm{keV}$\\
		大爆炸核合成&$3 \min $&$  4 \times 10^8 $&$  100 \mathrm{keV}$\\
		物质与辐射相等&$60 \mathrm{kyr} $&$ 3400 $&$ 0.75 \mathrm{eV}$\\
		重结合&$260-380 \mathrm{kyr} $&$ 1100-1400 $&$ 0.26-0.33 \mathrm{eV}$\\
		光子退耦&$380 \mathrm{kyr} $&$ 1100 $&$ 0.26 \mathrm{eV}$\\
		再电离&$100-400 \mathrm{Myr} $&$ 10-30 $&$ 2.6-7.0 \mathrm{meV}$\\
		暗能量与物质相等&$9 \mathrm{Gyr}$&$0.4$&$0.33 \mathrm{meV}$\\
		当今& 13.8 Gyr&$0 $&$ 0.24 \mathrm{meV}$
	\end{tblr}
	\caption{宇宙热历史上的关键事件。}
\end{table}

表3.1列出了宇宙热历史中的关键事件：
\begin{itemize}
\item 
\textbf{重子生成}。${ }^*$ 
相对论量子场论要求反粒子存在。
这造成了一个小小的疑难。
正粒子和反粒子会相互湮灭，例如通过$e^{+}+e^{-} \rightarrow \gamma+\gamma$过程。
如果宇宙最初充满了等量的正反物质，那么我们预计这些湮灭将导致一个以辐射为主的宇宙。
然而，我们确实观察到当今宇宙中与反物质相比正物质\textnote{主要是重子}过剩。
很多重子生成模型试图导出观测到的重子与光子的比率
\begin{equation}
	\eta_b \equiv \frac{n_b}{n_\gamma} \sim 10^{-9},
\end{equation}
试图从某些动力学机制中来导出，即没有把假设原初正反物质的不对称性当作初始条件。
尽管存在许多关于重子生成的想法，但没有一个能通过实验测试的挑选。
在这门课中，我们将没有太多关于重子生成的内容。



\item 
\textbf{电弱相变}。在$100 \mathrm{GeV}$时，粒子通过 Higgs 机制获得质量。
上面我们已经看到了这是如何导致弱相互作用强度剧烈变化的。


\item 
\textbf{QCD相变}。
在高能下，夸克是渐近自由的\textnote{即相互作用很弱}，低于$150 \mathrm{MeV}$时，夸克和胶子之间的强相互作用变得重要起来。
然后夸克和胶子形成束缚的三夸克系统，称为重子，当形成正反夸克对时，称为介子。
这些重子和介子就是在QCD相变标度之下的相关自由度成分。


\item 
\textbf{暗物质冻结}。
由于暗物质与普通物质的相互作用非常微弱，我们预计它会在相对较早的时候解耦。
在$\S 3.3 .2$中，我们将研究WIMPs的例子——弱相互作用的大质量粒子，它们在$1 \mathrm{MeV}$左右冻结。
我们将证明，为暗物质粒子的质量和他们与普通物质的相互作用截面选取比较自然的值后，
可以很好地再现观测到的暗物质密度遗留，这很是令人惊讶。



\item 
\textbf{中微子退耦}。
中微子仅通过弱相互作用与原始等离子体的其余部分作用。
因此，在（3.1.10）中的估计适用，中微子在$0.8 \mathrm{MeV}$时解耦。



\item 
\textbf{正负电子湮灭}。
中微子解耦后不久，正负电子湮灭就会发生。
正负电子的能量被转移给了光子，而不是中微子。
在$\S 3.2 .4$中，我们将解释这正是今天光子温度比中微子高的原因。



\item 
\textbf{大爆炸核合成}。
大爆炸后约3分钟，轻元素开始形成。
在$\S 3.3 .4$中，我们将研究大爆炸核合成\textnote{BBN}这一过程。



\item 
\textbf{重结合}。
若要通过反应$e^{-}+p^{+} \rightarrow \mathrm{H}+\gamma$形成中性的氢原子，
需温度变得足够的低，以至于其逆反应在能量上处于劣势。
我们将在$\S 3.3 .3$中研究重结合。



\item 
\textbf{光子退耦}。
在重结合之前，光子和剩于等离子体之间的最强耦合是通过Thomson散射，$e^{-}+\gamma \rightarrow e^{-}+\gamma$。
在重结合之后，自由电子的密度急剧下降，这意味着这个过程变得低效，光子解耦。
此后，它们在宇宙中自由流动，今天作为宇宙微波背景\textnote{CMB}被观测到。

\end{itemize}
在本章的其余部分，我们将探讨这些宇宙热历史知识来源的细节。







\section{平衡}

 
 
\subsection{热力学平衡}
我们有很好的观测证据\textnote{来自CMB的完美黑体光谱}表明早期宇宙处于局域热平衡。\footnote{严格地说，宇宙决不会真正地处于平衡态，因为FRW时空不具有类时Killing矢量。
	但这是物理学而不是数学：如果膨胀足够慢，粒子就有足够的时间接近局域平衡。\textnote{由于宇宙是均匀的，热力学量局部的值也是全局的值}
}
此外，我们已经在上文看到，标准模型预测的热平衡温度高于$100 \mathrm{GeV}$。\myfootnote{温度与能量的量纲相同}
为了描述这种状态以及随后的宇宙演化，我们需要回顾下热力学平衡的一些基本事实，然后将其适当推广应用于膨胀宇宙。




\subsubsection{微观到宏观}



统计力学就是一门艺术，将微观规律转化为对宏观世界的理解。
我将简要回顾这一方法，用于弱相互作用粒子组成的气体。
在相空间中描述此系统是很方便的，其中气体由所有粒子的位置和动量来描述。
在量子力学中，在体积$V=L^3$中粒子的动量本征态具有离散谱：
\begin{figure}[h!]
	\centering
	\includesvg[width=0.26\linewidth]{picture/0045.svg}
\end{figure}
在动量空间$\{\boldsymbol{p}\}$中的态密度是$L^3 / h^3=V / h^3$，在相空间$\{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}\}$中的态密度为
\begin{equation}
	\frac{1}{h^3} \text {. }
\end{equation}
如果粒子具有的内部自由度\textnote{例如自旋}为$g$，则态密度变为
\begin{equation}
	\frac{g}{h^3}=\frac{g}{(2 \pi)^3},
\end{equation}
上式中我们使用了自然单位，$\hbar=h /(2 \pi) \equiv 1$。
为了获得粒子气体的数密度，我们需要知道粒子在各动量本征态间的分布。
该信息包含在\textnote{相空间}分布函数$f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{p}, t)$中。
由于均匀性，分布函数实际上应该不依赖于位置$\boldsymbol{x}$。
此外，各向同性要求对动量的依赖性仅与动量大小$p \equiv|\boldsymbol{p}|$有关。
我们通常将对时间的依赖性保留为隐式的，它将在分布函数对温度的依赖性方面体现出来。
相空间中的粒子密度为态密度乘上分布函数
\begin{equation}
	\frac{g}{(2 \pi)^3} \times f(p) .
\end{equation}
粒子的数密度\textnote{在真实空间中}通过（3.2.14）对动量进行积分求得，
\begin{equation}
	n=\frac{g}{(2 \pi)^3} \int d^3 p f(p)
\end{equation}
为了获得粒子气体的能量密度，我们必须对每个动量本征态用它的能量来进行加权。
在一个很好的近似下，早期宇宙中粒子间的相互作用很弱。
这允许我们忽略粒子间的相互作用能量，将质量为 $m$ 、动量为 $p$ 的粒子的能量简单地写成
\begin{equation}
	E(p)=\sqrt{m^2+p^2} .
\end{equation}
对（3.2.16）和（3.2.14）的乘积在动量空间进行积分，给出的能量密度为
\begin{equation}
	\rho=\frac{g}{(2 \pi)^3} \int d^3 p f(p) E(p) .
\end{equation}
类似地，我们将压强定义为
\begin{equation}
	P=\frac{g}{(2 \pi)^3} \int d^3 p f(p) \frac{p^2}{3 E}
\end{equation}




\begin{omnipotent}{压强$ ^{*} $}
---让我提醒你一下，（3.2.18）中的因子$p^2 / 3 E$来自何处。
考虑一个大小为$\mathrm{d} A$的小块面元，有单位法矢$\hat{\boldsymbol{n}}$\textnote{见图3.3}。
速度为$|\boldsymbol{v}|$，且在$t$和$t+\mathrm{d} t$间撞击该面元的所有粒子，在$t=0$时都位于半径为$R=|\boldsymbol{v}| t$、宽度为$|\boldsymbol{v}| \mathrm{d} t$的球壳中。
该壳的立体角$\mathrm{d} \Omega^2$定义的体积$\mathrm{d} V=R^2|\boldsymbol{v}| \mathrm{d} t \mathrm{~d} \Omega^2$\textnote{参见图3.3中的灰色阴影区域}。
将相空间密度（3.2.14）乘以$\mathrm{d} V$，
给该体积中\textnote{动量空间中的每单位体积}能量为$E(|\boldsymbol{v}|)$的粒子数，
\begin{equation}
	\mathrm{d} N=\frac{g}{(2 \pi)^3} f(E) \times R^2|\boldsymbol{v}| \mathrm{d} t \mathrm{~d} \Omega .
\end{equation}
并不是$\mathrm{d} V$中的所有粒子都能到达靶子，只有速度指向面元的粒子才能到达。
考虑到速度分布的各向同性，我们发现，有着速度$\boldsymbol{v}=|\boldsymbol{v}| \hat{\boldsymbol{v}}$，且能够撞到面元$\mathrm{d} A \hat{\boldsymbol{n}}$的粒子总数为
\begin{equation}
	\mathrm{d} N_A=\frac{|\hat{\boldsymbol{v}} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}| \mathrm{d} A}{4 \pi R^2} \times \mathrm{d} N=\frac{g}{(2 \pi)^3} f(E) \times \frac{|\boldsymbol{v} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}|}{4 \pi} \mathrm{d} A \mathrm{~d} t \mathrm{~d} \Omega,
\end{equation}
其中$\boldsymbol{v} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}<0$。
如果这些粒子被弹性反射，每个粒子传递给靶的动量为$2|\boldsymbol{p} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}|$。
因此，速度为$|\boldsymbol{v}|$的粒子对压强的贡献为
\begin{equation}
	\mathrm{d} P(|\boldsymbol{v}|)=\int \frac{2|\boldsymbol{p} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}|}{\mathrm{d} A \mathrm{~d} t} \mathrm{~d} N_A=\frac{g}{(2 \pi)^3} f(E) \times \frac{p^2}{2 \pi E} \int \cos ^2 \theta \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi=\frac{g}{(2 \pi)^3} \times f(E) \frac{p^2}{3 E},
\end{equation}
其中，我们使用了$|\boldsymbol{v}|=|\boldsymbol{p}| / E$，并在由$\hat{\boldsymbol{v}} \cdot \hat{\boldsymbol{n}} \equiv-\cos \theta<0$定义的半球上进行了积分\textnote{即仅对向$\mathrm{d} A$运动的粒子进行积分---见图3.3}。
在能量$E$\textnote{或动量$p$}上积分，我们将得到（3.2.18）。




\end{omnipotent}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.45\linewidth]{picture/0047.svg}
	\caption{弱相互作用粒子气体中的压强。}
\end{figure}






\subsubsection{局域热平衡}


如果粒子间能够高效地交换能量和动量，那么称粒子组成的系统处于动理学平衡。\myfootnote{此处，kinetic为运动的，kinetics译为动理学，是在相空间中研究多粒子体系的运动规律。kinetic equilibrium译为动理学平衡，而动态平衡对应的是dynamical equilibrium。}
这导致了最大熵的状态，其中分布函数由费米--狄拉克和玻色--爱因斯坦分布给出
\begin{equation}
	f(p)=\frac{1}{e^{(E(p)-\mu) / T} \pm 1},
\end{equation}
其中$+$号对应费米子，$-$号对应玻色子。
在低温下，$T<E-\mu$，这两个分布函数都简化为麦克斯韦--玻尔兹曼分布
\begin{equation}
	f(p) \approx e^{-(E(p)-\mu) / T} .
\end{equation}
平衡分布函数有两个参数：温度$T$和化学势$\mu$。
化学势可能与温度有关。
当宇宙膨胀时，$T$和$\mu(T)$以这样的一种方式变化，即满足能量密度$\rho$和粒子数密度$n$的连续性方程。
每一种粒子$i$\textnote{可能有不同的$m_i $、$  \mu_i$、$T_i$}都有自己的分布函数$f_i$，因此也有自己的$n_i$、$ \rho_i$、$ P_i$。

\begin{omnipotent}{化学势$ ^{*} $}
---在热力学中，化学势表征了系统对粒子数变化的反应。
具体地，它被定义为在固定能量和体积下，熵关于粒子数的导数，
\begin{equation}
	\mu=-T\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U, V} .
\end{equation}
因此，系统熵的变化是
\begin{equation}
	\mathrm{d} S=\frac{\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V-\mu \mathrm{d} N}{T},
\end{equation}
其中$\mu \mathrm{d} N$有时被称为化学功。
反应粒子的化学势知识可以用来指示反应进行的路径。
热力学第二定律意味着粒子流到反应中总化学势较低的那一侧。
当反应粒子的化学势之和等于产物粒子的化学势之和时，就达到了化学平衡。
正向和逆向的反应速率相等。


\end{omnipotent}




如果某种粒子$i$处于化学平衡，那么它的化学势$\mu_i$与相互作用中其他种类粒子的化学势$\mu_j$有关。
例如，如果粒子$ 1 $通过反应$1+2 \leftrightarrow 3+4$与粒子$ 2 $、$ 3 $和$ 4 $相互作用，则化学平衡意味着
\begin{equation}
	\mu_1+\mu_2=\mu_3+\mu_4 .
\end{equation}
由于光子数不守恒\textnote{例如，发生在高温平衡时的双康普顿散射$e^{-}+\gamma \leftrightarrow e^{-}+\gamma+\gamma$}，我们知道
\begin{equation}
	\mu_\gamma=0 .
\end{equation}
这意味着，如果粒子$X$的化学势是$\mu_X$，那么对应的反粒子$\bar{X}$的化学势为
\begin{equation}
	\mu_{\bar{X}}=-\mu_X,
\end{equation}
要认识到这一点，只需考虑到正反粒子的湮灭，$X+\bar{X} \leftrightarrow \gamma+\gamma$。



各种粒子热平衡的达到都是在动理学平衡和化学平衡上实现的。
然后，这些各个种类的粒子享有一个共同的温度$T_i=T $。\footnote{这个温度通常等同于光子温度$T_\gamma$---即“宇宙的温度”。}





\subsection{密度与压强}


现在，让我们使用上一节的结果，将弱相互作用粒子气体的密度和压强与宇宙的温度联系起来。

在早期，所有粒子的化学势都很小，可以忽略不计。\footnote{对于电子和质子来说，这是一个事实\textnote{见问题集2}，而对于中微子来说，这可能是正确的，但尚未得到证实。}
把化学势设为零，我们得到
\begin{align}
	\begin{split}
		 n&=\frac{g}{2 \pi^2} \int_0^{\infty} \mathrm{d} p \frac{p^2}{\exp \left[\sqrt{p^2+m^2} / T\right] \pm 1}
	\end{split}
 \\
 	\begin{split}
		 \rho&=\frac{g}{2 \pi^2} \int_0^{\infty} \mathrm{d} p \frac{p^2 \sqrt{p^2+m^2}}{\exp \left[\sqrt{p^2+m^2} / T\right] \pm 1}
	\end{split}
\end{align}
定义$x \equiv m / T$和$\xi \equiv p / T$，上面二式可以写成
\begin{align}
	\begin{split}
		\begin{aligned}
			n & =\frac{g}{2 \pi^2} T^3 I_{\pm}(x), & I_{\pm}(x) & \equiv \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^2}{\exp \left[\sqrt{\xi^2+x^2}\right] \pm 1} 
		\end{aligned}
	\end{split}
\\
\begin{split}
	\begin{aligned}
		\rho & =\frac{g}{2 \pi^2} T^4 J_{\pm}(x), & J_{\pm}(x) & \equiv \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^2 \sqrt{\xi^2+x^2}}{\exp \left[\sqrt{\xi^2+x^2}\right] \pm 1}
	\end{aligned}
\end{split}
\end{align}
通常，函数$I_{\pm}(x)$和$J_{\pm}(x)$必须使用数值计算。
然而，在\textnote{极端}相对论和非相对论极限下，我们可以得到解析结果。




以下标准积分将很有用
\begin{align}
	\begin{split}
		& \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^n}{e^{\xi}-1}=\zeta(n+1) \Gamma(n+1), 
	\end{split}
			\\
		\begin{split} 
		& \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^n e^{-\xi^2}=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}(n+1)\right),
	\end{split}
\end{align}
其中$\zeta(z)$是黎曼zeta函数。





\subsubsection{相对论极限}



在极限$x \rightarrow 0$\textnote{$ m \ll T $}下，（3.2.31）中的积分化简为
\begin{equation}
	I_{\pm}(0)=\int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^2}{e^{\xi} \pm 1} .
\end{equation}
对于玻色子，采用（3.2.33）中$n=2$的积分形式，
\begin{equation}
	I_{-}(0)=2 \zeta(3),
\end{equation}
其中$\zeta(3) \approx 1.20205 \cdots$。
为了找出费米子对应的结果，我们注意到
\begin{equation}
	\frac{1}{e^{\xi}+1}=\frac{1}{e^{\xi}-1}-\frac{2}{e^{2 \xi}-1},
\end{equation}
于是
\begin{equation}
	I_{+}(0)=I_{-}(0)-2 \times\left(\frac{1}{2}\right)^3 I_{-}(0)=\frac{3}{4} I_{-}(0) .
\end{equation}
因此，我们得到
\begin{equation}
	n=\frac{\zeta(3)}{\pi^2} g T^3 \begin{cases}1 & \text { bosons } \\ \frac{3}{4} & \text { fermions }\end{cases}
\end{equation}
能量密度由类似的计算给出
\begin{equation}
	\rho=\frac{\pi^2}{30} g T^4 \begin{cases}1 & \text { bosons } \\ \frac{7}{8} & \text { fermions }\end{cases}
\end{equation}
\begin{omnipotent}{光子遗留}
---使用CMB的温度$T_0=2.73 \mathrm{~K}$，证明
\begin{align}
	\begin{split}
		n_{\gamma, 0} & =\frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} T_0^3 \approx 410 \text { photons } \mathrm{cm}^{-3} 
	\end{split}
			\\
		\begin{split}
		\rho_{\gamma, 0} & =\frac{\pi^2}{15} T_0^4 \approx 4.6 \times 10^{-34} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \quad \Rightarrow \quad \Omega_\gamma h^2 \approx 2.5 \times 10^{-5} .
	\end{split}
\end{align}
\end{omnipotent}
最后，从（3.2.18）中很容易看出，我们恢复了相对论气体\textnote{即“辐射”}期望中的压强与密度关系
\begin{equation}
	P=\frac{1}{3} \rho .
\end{equation}
\begin{exercise}
 ---对于$\mu=0$，粒子和反粒子的数量相等。
 为了获得“净粒子数”，让我们在相对论极限中恢复有限的$\mu$。
 对于$\mu \neq 0$和$T \gg m$的费米子，证明
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		n-\bar{n} & =\frac{g}{2 \pi^2} \int_0^{\infty} \mathrm{d} p p^2\left(\frac{1}{e^{(p-\mu) / T}+1}-\frac{1}{e^{(p+\mu) / T}+1}\right) \\
		& =\frac{1}{6 \pi^2} g T^3\left[\pi^2\left(\frac{\mu}{T}\right)+\left(\frac{\mu}{T}\right)^3\right] .
	\end{aligned}
\end{equation}
请注意，此结果是精确的，而不是一个级数的截断。
\end{exercise}





\subsubsection{非相对论极限}

在极限$x \gg 1$\textnote{$ m \gg T $}下，(3.2 .31)的积分对于玻色子和费米子来说都是一样的
\begin{equation}
	I_{\pm}(x) \approx \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^2}{e^{\sqrt{\xi^2+x^2}}}
\end{equation}
积分贡献的大部分来自 $\xi \ll x$ 。
因此，我们可以将指数上的平方根进行泰勒展开，取 $\xi$ 的最低阶，
\begin{equation}
	I_{\pm}(x) \approx \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \frac{\xi^2}{e^{x+\xi^2 /(2 x)}}=e^{-x} \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^2 e^{-\xi^2 /(2 x)}=(2 x)^{3 / 2} e^{-x} \int_0^{\infty} \mathrm{d} \xi \xi^2 e^{-\xi^2} .
\end{equation}
最右边的积分是（3.2.34）积分中$n=2$的形式。
使用$\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\sqrt{\pi} / 2$，我们得到
\begin{equation}
	I_{\pm}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} x^{3 / 2} e^{-x},
\end{equation}
这导致
\begin{equation}
	n=g\left(\frac{m T}{2 \pi}\right)^{3 / 2} e^{-m / T} .
\end{equation}
正如预期的那样，有质量的粒子在低温下\textnote{$T \ll m$}是指数级地罕见。
在非相对论极限的最低阶近似下，我们有$E(p) \approx m$，能量密度简单地等于质量密度
\begin{equation}
	\rho \approx m n
\end{equation}
\begin{exercise}
---使用$E(p)=\sqrt{m^2+p^2} \approx m+p^2 / 2 m$，证明
\begin{equation}
	\rho=m n+\frac{3}{2} n T .
\end{equation}
\end{exercise}
最后，用（3.2.18）可以很容易地证明，非相对论粒子气体的行为类似于无压强的尘埃\textnote{即“物质”}
\begin{equation}
	P=n T \ll \rho=m n .
\end{equation}
\begin{exercise}
---推导（6.4.53）。提示，这只不过是理想气体定律，$P V=N k_{\mathrm{B}} T$。
\end{exercise}





通过比较相对论极限\textnote{$T \gg m$}和非相对论极限 \textnote{$T \ll m$}，我们发现当温度下降到低于粒子质量时，粒子的数量密度、能量密度和压强都呈指数级下降\textnote{被“玻尔兹曼抑制”}。
我们将其解释为粒子和反粒子的湮灭。
在较高的能量下，这些湮灭也会发生，但它们跟正反粒子对的产生保持平衡。
在低温下，粒子的热能量不足以产生正反粒子对。
\begin{exercise}
在非相对论极限中恢复有限的$\mu$，证明
\begin{align}
	\begin{split}
		n  &=g\left(\frac{m T}{2 \pi}\right)^{3 / 2} e^{-(m-\mu) / T} 
\end{split}
		\\
		\begin{split}
		n-\bar{n} & =2 g\left(\frac{m T}{2 \pi}\right)^{3 / 2} e^{-m / T} \sinh \left(\frac{\mu}{T}\right) .
	\end{split}
\end{align}
\end{exercise}








\subsubsection{相对论性粒子的有效数}


设$T$为光子气体的温度。
总辐射密度是所有相对论物质能量密度的总和
\begin{equation}
	\rho_r=\sum\limits_i \rho_i=\frac{\pi^2}{30} g_{\star}(T) T^4,
\end{equation}
其中$g_{\star}(T)$是在$T$温度下相对论自由度的有效数。
对各种粒子的求和来自于两种类型的贡献：
\begin{itemize}
	\item 
与光子处于热平衡的相对论性物质，$T_i=T \gg m_i$，
	\begin{equation}
		g_{\star}^{t h}(T)=\sum\limits_{i=b} g_i+\frac{7}{8} \sum\limits_{i=f} g_i .
	\end{equation}
当温度降到低于粒子的质量$m_i$时，它变为非相对论性的，并从（3.2.55）的求和中去除。
远低于质量阈值时，热的贡献与温度无关。


\item 
与光子不处于热平衡的相对论性物质，$T_i \neq T \gg m_i$，
\begin{equation}
	g_{\star}^{d e c}(T)=\sum\limits_{i=b} g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^4+\frac{7}{8} \sum\limits_{i=f} g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^4 .
\end{equation}
我们允许解耦后的粒子具有不同的温度$T_i$。
这将与$e^{+} e^{-}$湮灭后的中微子有关\textnote{见$\S 3.2 .4$}。
\end{itemize}





\begin{table}[htbp]
	\centering
	\caption{标准模型的粒子目录。}
	\begin{tblr}{
			hline{1,2,Z} = {1.5pt,},
			colspec = {llrcl},
			row{2,8,9,15,Z} = {green!20},
			row{8,15} = {blue!20},
		}
	类型&&质量&自旋&$ g $\\
	夸克&$t, \bar{t} $&$ 173 \mathrm{GeV} $&$ \frac{1}{2} $&$ 2 \cdot 2 \cdot 3=12$\\
	&$ b, \bar{b} $ & $ 4 \mathrm{GeV}  $&&\\
	&$c, \bar{c} $& $1 \mathrm{GeV} $&&\\
	&$s, \bar{s} $& $100 \mathrm{MeV} $&&\\
	&$d, \bar{s} $&$ 5 \mathrm{MeV} $&&\\
	&$u, \bar{u} $&$ 2 \mathrm{MeV}$&&\\
	胶子&$ g_{i} $&$ 0 $&$ 1 $&$8 \cdot 2=16$\\
	轻子&$\tau^{\pm} $&$ 1777 \mathrm{MeV} $&$ \frac{1}{2} $&$ 2 \cdot 2=4$\\
	&$\mu^{\pm} $&$ 106 \mathrm{MeV}$&&\\
	&$e^{\pm} $&$ 511 \mathrm{keV}$&&\\
	&$\nu_\tau, \bar{\nu}_\tau $&$<0.6 \mathrm{eV} $&$ \frac{1}{2} $&$ 2 \cdot 1=2$\\
	&$\nu_\mu, \bar{\nu}_\mu$&$<0.6 \mathrm{eV}$&&\\
	&$\nu_e, \bar{\nu}_e \quad$&$<0.6 \mathrm{eV}$&&\\
	规范玻色子&$W^{+} $&$ 80 \mathrm{GeV} $&$ 1 $&$ 3$\\
	&$W^{-} $&$ 80 \mathrm{GeV}$&&\\
	&$Z^0 $&$ 91 \mathrm{GeV}$&&\\
	&$\gamma$&$ 0 $&$ 2 $\\
	Higgs玻色子&$ H^{0} $&$125 \mathrm{GeV} $& $0 $&$ 1$
	\end{tblr}
\end{table}




图3.4展示了假设在标准模型粒子目录\textnote{见表3.2}下$g_{\star}(T)$的演化。
对$T \gtrsim 100 \mathrm{GeV}$，标准模型的所有粒子都是相对论的。
将它们的内部自由度相加，我们得到：\footnote{这里，我们使用了无质量自旋为1的粒子\textnote{光子和胶子}有两种极化，有质量自旋为1的粒子\textnote{$ W^{\pm}, Z $}有三种极化，而有质量自旋为$\frac{1}{2}$的粒子\textnote{$ e^{\pm}, \mu^{\pm}, \tau^{\pm} $和夸克}有两种自旋状态。
	我们假设中微子是纯左手的\textnote{即我们只计算了一个螺旋态}。
	另外，记住费米子有反粒子。}
\begin{center}
	\centering
\begin{minipage}[h!]{0.66\linewidth}
	\flushleft
$g_b=28 \quad$ 光子$(2) $，$  W^{\pm}$和$Z^0(3 \cdot 3)$，胶子$(8 \cdot 2)$和希格斯粒子（1）\\
$g_f=90 \quad$ 夸克$(6 \cdot 12)$，带电轻子$(3 \cdot 4)$，中微子$(3 \cdot 2)$
\end{minipage}
\end{center}
因此
\begin{equation}
	g_{\star}=g_b+\frac{7}{8} g_f=106.75 .
\end{equation}
随着温度下降，各种粒子将变成非相对论性的并湮灭。
为了估计温度为$T$的$g_{\star}$，我们只需将所有相对论自由度\textnote{对$m \ll T$的粒子}的贡献相加，其余部分的贡献丢弃。









作为标准模型中最重的粒子，顶夸克首先湮灭。
在$T \sim\frac{1}{6} m_t \sim 30 \mathrm{GeV}$，\footnote{从相对论行为到非相对论行为的转变不是瞬时的。
	大约$80 \%$的正反粒子湮灭发生在$T=m \rightarrow \frac{1}{6} m$的区间上。}
相对论性物质的有效数减少到$g_{\star}=106.75-\frac{7}{8} \times 12=96.25$ 。
Higgs玻色子和规范玻色子$W^{\pm}, Z^0$随后湮灭。
这两者大致同时发生。
在$T \sim 10 \mathrm{GeV}$，我们有$g_{\star}=96.26-(1+3 \cdot 3)=86.25$。
接下来，底夸克湮灭\textnote{$g_{\star}=86.25-\frac{7}{8} \times 12=75.75$}，
紧接着是粲夸克和$ \tau $轻子\textnote{$g_{\star}=75.75-\frac{7}{8} \times(12+4)=61.75$}。
在奇异夸克有时间湮灭之前，另一件事发生了：物质经历了QCD相变。
在$T \sim 150 \mathrm{MeV}$，剩下的夸克结合成了重子\textnote{质子、中子等}和介子\textnote{$ \pi $介子等}。
重子和介子有许多不同的种类，但除了$ \pi $介子\textnote{$\pi^{\pm}, \pi^0$}外，其它的重子和介子在低于QCD相变温度下都是非相对论的。
因此，剩下的大量粒子中只有$ \pi $介子、电子、$ \mu $介子、中微子和光子。
三个$ \pi $介子\textnote{自旋为$ 0 $}对应于$g=3 \cdot 1=3$个内部自由度。
因此，我们得到$g_{\star}=2+3+\frac{7}{8} \times(4+4+6)=17.25$。
接下来，是正负电子湮灭。
然而，为了理解这个过程，我们首先需要谈到熵。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.73\linewidth]{picture/0053.svg}
	\caption{假设在标准模型粒子目录下相对论自由度$g_{\star}(T)$的演变。
		虚线代表了熵中的自由度有效数$g_{\star S}(T)$。}
\end{figure}









\subsection{熵守恒}

为了描述宇宙的演化，追踪一个守恒量是很有用的。
正如我们将看到的，在宇宙学中，熵比能量提供了更多信息。
根据热力学第二定律，宇宙的总熵只增加或保持不变。
很容易证明熵在平衡状态下是守恒的\textnote{见下文}。
由于宇宙中光子远多于重子，宇宙的熵由光子浴的熵主导\textnote{这至少需要宇宙足够均匀}。
因此，非平衡过程产生的任何熵相对于总熵而言都是微不足道的。
因此，为了得到一个很好的近似值，我们可以将宇宙的膨胀视为绝热膨胀，从而使得总熵保持恒定，即使偏离平衡也是一样。





\begin{exercise}
---对于保持在平衡状态\textnote{因此具有相应的分布函数}且$\mu=0$的粒子，证明下式成立：
\begin{equation}
	\frac{\partial P}{\partial T}=\frac{\rho+P}{T} .
\end{equation}
\end{exercise}


考虑热力学第二定律：$T \mathrm{~d} S=\mathrm{d} U+P \mathrm{~d} V$。使用$U=\rho V$，我们得到
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\mathrm{d} S & =\frac{1}{T}(\mathrm{~d}[(\rho+P) V]-V \mathrm{~d} P) \\
		& =\frac{1}{T} \mathrm{~d}[(\rho+P) V]-\frac{V}{T^2}(\rho+P) \mathrm{d} T \\
		& =\mathrm{d}\left[\frac{\rho+P}{T} V\right]
	\end{aligned}
\end{equation}
其中我们在第二行中使用了（3.2.58）。
为了证明熵在平衡态是守恒的，我们考虑
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left[\frac{\rho+P}{T} V\right] \\
		& =\frac{V}{T}\left[\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} t}+\frac{1}{V} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} t}(\rho+P)\right]+\frac{V}{T}\left[\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} t}-\frac{\rho+P}{T} \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} t}\right] .
	\end{aligned}
\end{equation}
通过连续性方程，$\dot{\rho}+3 H(\rho+P)=0$，
第一项为零\textnote{回想一下$V \propto a^3$}。
第二项使用（3.2.58）后也为零。
这确立了在平衡中熵守恒。




接下来，使用熵密度$s \equiv S / V$将会很方便。
从（3.2.59）中，我们知道
\begin{equation}
	s=\frac{\rho+P}{T} .
\end{equation}
使用（3.2.40）和（6.4.53），各种粒子总的熵密度为
\begin{equation}
	s=\sum\limits_i \frac{\rho_i+P_i}{T_i} \equiv \frac{2 \pi^2}{45} g_{\star S}(T) T^3,
\end{equation}
其中我们定义了熵中的自由度有效数，
\begin{equation}
	g_{\star S}(T)=g_{\star S}^{t h}(T)+g_{\star S}^{d e c}(T) .
\end{equation}
注意到，对于处于热平衡的粒子，$g_{\star S}^{t h}(T)=g_{\star}^{t h}(T)$。
然而，考虑到$s_i \propto T_i^3$，对于解耦的粒子，我们得出
\begin{equation}
	g_{\star S}^{d e c}(T) \equiv \sum\limits_{i=b} g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^3+\frac{7}{8} \sum\limits_{i=f} g_i\left(\frac{T_i}{T}\right)^3 \neq g_{\star}^{d e c}(T) .
\end{equation}
因此，只有当所有相对论性粒子都处于相同温度下的平衡态时，$g_{\star S}$才等于$g_{\star}$。
在真实宇宙中，这种情况一直持续到$t \approx 1 $秒时\textnote{参见图3.4}。





熵守恒有两个重要的结果：
\begin{itemize}
	\item 
这意味着$s \propto a^{-3}$。
因此，在共动体积中的粒子数正比于数密度$n_i$除以熵密度
	\begin{equation}
		N_i \equiv \frac{n_i}{s} .
	\end{equation}
如果粒子既没有产生也没有消灭，则$n_i \propto a^{-3}$和$N_i$是常数。
例如，重子产生后的总重子数，$n_B / s \equiv\left(n_b-n_{\bar{b}}\right) / s$，就是这种情况。



\item 
这意味着，通过方程（3.2.62），有
\begin{equation}
	g_{\star S}(T) T^3 a^3=\text { const. }, \quad \text { or } \quad T \propto g_{\star S}^{-1 / 3} a^{-1} .
\end{equation}
与预期的一样，当温度远高于粒子的质量阈值时，$g_{\star S}$近似恒定，$T \propto a^{-1}$。
因子$g_{\star S}^{-1 / 3}$诠释了这样一个事实：每当一种粒子变得非相对论并消失时，其熵就会转移到热等离子体中的其他种类的相对论性粒子中去，这导致了$T$的下降速度略慢于$a^{-1}$。
我们将在下一节中看到一个例子\textnote{参见图3.5}。



将$T \propto g_{\star S}^{-1 / 3} a^{-1}$代入Friedmann方程，有
\begin{equation}
	H=\frac{1}{a} \frac{d a}{d t} \simeq\left(\frac{\rho_r}{3 M_{\mathrm{pl}}^2}\right)^{1 / 2} \simeq \frac{\pi}{3}\left(\frac{g_{\star}}{10}\right)^{1 / 2} \frac{T^2}{M_{\mathrm{pl}}},
\end{equation}
我们再现了在一个辐射主导宇宙中的一 般结果，$a \propto t^{1 / 2}$，除了每次$g_{\star S}$变化时，标度会发生变化。
对于$T \propto t^{-1 / 2}$，我们可以对弗里德曼方程进行积分，得到温度作为时间的函数
\begin{equation}
	\frac{T}{1 \mathrm{MeV}} \simeq 1.5 g_{\star}^{-1 / 4}\left(\frac{1 \sec }{t}\right)^{1 / 2} .
\end{equation}
这是一个很有用的经验规则，大爆炸后$ 1 $秒，宇宙的温度大约为$1 \mathrm{MeV}$，而在此之前，宇宙温度以$t^{-1 / 2}$形式演变。


\end{itemize}






\subsection{中微子退耦}

中微子通过弱相互作用过程与热浴进行耦合，如
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\nu_e+\bar{\nu}_e & \leftrightarrow e^{+}+e^{-}, \\
		e^{-}+\bar{\nu}_e & \leftrightarrow e^{-}+\bar{\nu}_e .
	\end{aligned}
\end{equation}
这些相互作用截面在（3.1.9）中做了估计，$\sigma \sim G_F^2 T^2$，因此发现$\Gamma \sim G_F^2 T^5$。
随着温度的降低，相互作用速率的下降速度比哈勃速率\textnote{$H \sim T^2 / M_{\mathrm{pl}}$}的下降速度更快:
\begin{equation}
	\frac{\Gamma}{H} \sim\left(\frac{T}{1 \mathrm{MeV}}\right)^3 .
\end{equation}
据此，我们得出结论，中微子在$1 \mathrm{MeV}$左右解耦\textnote{更精确的计算得出$T_{\text {dec }} \sim 0.8 \mathrm{MeV}$}。
解耦后，中微子沿着测地线自由运动，并与相对论性的费米--狄拉克分布保持着相当好程度的近似\textnote{即使后来它们变成非相对论性的}。
在$\S 1.2 .1$中，我们证明了粒子的物理动量标度为$p \propto a^{-1}$。
因此，可以方便地定义出不依赖于时间的组合$q \equiv a p$，由此中微子数密度为
\begin{equation}
	n_\nu \propto a^{-3} \int \mathrm{d}^3 q \frac{1}{\exp \left(q / a T_\nu\right)+1} .
\end{equation}
退耦后，粒子数守恒要求$n_\nu \propto a^{-3}$。
只有当中微子温度的演变为$T_\nu \propto a^{-1}$时，这才与（3.2.71）相符。
只要光子温度\footnote{目前，我们将恢复光子温度的下标，以突出其与中微子温度的不同。}
$T_\gamma$的标度以相同的方式减小，我们仍然有$T_\nu=T_\gamma$。
然而，粒子的湮灭将导致光子温度对$T_\gamma \propto a^{-1}$的偏离。




\subsection{正负电子湮灭}
\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.57\linewidth]{picture/0056.svg}
	\caption{正负电子湮灭相关热历史。
		中微子解耦后它温度的红移仅为$T_\nu \propto a^{-1}$。
		正负电子对的能量密度被转移给了光子气体，因此光子气体温度的红移更慢，$T_\gamma \propto g_{\star S}^{-1 / 3} a^{-1}$。}
\end{figure}


中微子解耦后不久，温度就下降到电子质量以下，正负电子湮灭随即发生
\begin{equation}
	e^{+}+e^{-} \leftrightarrow \gamma+\gamma .
\end{equation}
正负电子的能量密度和熵转都移给了光子，而不是已经解耦的中微子。
因此，光子相对于中微子而言被“加热”了\textnote{光子温度没有降低那么多，见图3.5}。
为了量化这种效应，我们考虑了熵中自由度有效数的变化。
如果我们忽略中微子和其他已退耦的粒子，\footnote{显然，热浴和退耦粒子的熵分别守恒。}我们有
\begin{equation}
	g_{\star S}^{t h}=\left\{\begin{array}{ll}
		2+\frac{7}{8} \times 4=\frac{11}{2} & T \gtrsim m_e \\
		2 & T<m_e
	\end{array} .\right.
\end{equation}
由于在平衡状态下，$g_{\star S}^{t h}\left(a T_\gamma\right)^3$保持不变，我们发现，在正负电子湮灭后\textnote{$T<m_e$}，$a T_\gamma$增加了$( \frac{11}{4} )^{1 / 3}$倍，而$a T_\nu$保持不变。
这意味着$e^{+} e^{-}$湮灭后，中微子的温度略低于光子的温度，
\begin{equation}
	T_\nu=\left(\frac{4}{11}\right)^{1 / 3} T_\gamma .
\end{equation}
对于$T \ll m_e$，相对论粒子的有效数\textnote{在能量密度和熵中}为
\begin{align}
	\begin{split}
		 g_{\star}&=2+\frac{7}{8} \times 2 N_{\text {eff }}\left(\frac{4}{11}\right)^{4 / 3}=3.36, 
	\end{split}\\
\begin{split}
		 g_{\star S}&=2+\frac{7}{8} \times 2 N_{\text {eff }}\left(\frac{4}{11}\right)=3.94,
	\end{split}
\end{align}
其中我们引入了参数$N_{\text {eff }}$作为宇宙内中微子的有效数。
如果中微子解耦是瞬时的，那么我们有$N_{\text {eff }}=3$。
然而，当$e^{+} e^{-}$湮灭开始时，中微子的退耦还没有全部完成，因此一些能量和熵确实也泄漏给了中微子。
考虑到这一点，\footnote{为了得到$N_{\text {eff }}$的精确值，还必须考虑到这样一个事实，即解耦后的中微子谱与费米--狄拉克分布还有略微的偏差。
	出现这种谱失真，是因为弱相互作用的能量依赖性导致了在高能末尾时中微子的相互作用更强烈。}
中微子的有效数提高到$N_{\text {eff }}=3.046 $。\footnote{$N_{\text {eff }}$上的普朗克约束为$3.36 \pm 0.34$。
	这仍然为发现$N_{\text {eff }} \neq 3.046$留下了空间，这是宇宙学中可以发现超越标准模型的新物理途径之一。}
在（3.2.75）和（3.2.76）中使用此值，也就解释了图3.1中$g_{\star}(T)$和$g_{\star S}(T)$最终的值。







\subsection{宇宙中微子背景}


关系（3.2.74）一直保持到现在。
因此，宇宙中微子背景\textnote{$\mathrm{C} \nu \mathrm{B}$}的温度$T_{\nu, 0}=1.95 \mathrm{~K}=0.17 \mathrm{meV}$略低于宇宙微波背景的温度$T_0=2.73 \mathrm{~K}=0.24 \mathrm{meV}$。
中微子的数密度是
\begin{equation}
	n_\nu=\frac{3}{4} N_{\text {eff }} \times \frac{4}{11} n_\gamma .
\end{equation}
使用（3.2.41），我们发现这对应于每种味道\myfootnote{中微子有三种类型，每一种类型也称为一种味道}的中微子在每立方厘米内有112个。
中微子目前的能量密度取决于中微子现在是相对论的还是非相对论的。
过去人们认为中微子是无质量的，在这种情况下，我们会有
\begin{equation}
	\rho_\nu=\frac{7}{8} N_{\text {eff }}\left(\frac{4}{11}\right)^{4 / 3} \rho_\gamma \Rightarrow \Omega_\nu h^2 \approx 1.7 \times 10^{-5} \quad\left(m_\nu=0\right) .
\end{equation}
中微子振荡实验表明中微子确实有质量。
中微子质量的最小总和是$\sum\limits m_{\nu, i}>60 \mathrm{meV}$。
有质量的中微子的行为，在早期宇宙中表现为类辐射粒子，\footnote{对于$m_\nu<0.2 \mathrm{eV}$，中微子在重结合时是相对论性的。}
在晚期宇宙中则表现为类物质粒子\textnote{见图3.6}。
在问题集$ 2 $中，你将证明有质量的中微子的能量密度，$\rho_\nu=\sum\limits m_{\nu, i} n_{\nu, i}$，对应于
\begin{equation}
	\Omega_\nu h^2 \approx \frac{\sum\limits m_{\nu, i}}{94 \mathrm{eV}}
\end{equation}
通过要求中微子跟宇宙的联系不过分密切，即$\Omega_\nu<1$，我们可以对中微子质量的总和设置一个宇宙学上限$\sum m_{\nu, i}<15 \mathrm{eV}$\textnote{使用了$h=0.7$}。
事实上，通过对氚的$\beta$衰变测量，我们发现$\sum m_{\nu, i}<6 \mathrm{eV}$。
此外，通过对宇宙微波背景、星系团和Ia型超新星的观测，我们得到了一个更加强烈的限制，$\sum m_{\nu, i}<1 \mathrm{eV}$。
这意味着，尽管中微子在能量密度上的贡献至少是光子的25倍，但对总体而言，它们仍然是只一种次要的成分，$0.001<\Omega_\nu<0.02$。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.53\linewidth]{picture/0058.svg}
	\caption{关于光子、三种中微子\textnote{一种是无质量的，另外两种是有质量的——$0.05$到$0.01 \ \mathrm{eV}$}、冷暗物质\textnote{CDM}、重子和宇宙常数\textnote{$\Lambda$}的分数能量密度演化。
		需注意，当两种有质量的中微子变成非相对论粒子时它们行为的变化。}
\end{figure}










\section{非平衡}

描述非平衡态演化的形式工具是玻尔兹曼方程。
在本节中，我们首先介绍玻尔兹曼方程，然后将其应用于三个重要的例子：（i）暗物质的产生；（ii）大爆炸核合成中轻元素的形成；（iii）电子和质子重结合形成中性氢原子。



\subsection{玻尔兹曼方程}


在没有相互作用的情况下，粒子$i$的数密度演变为
\begin{equation}
	\frac{d n_i}{d t}+3 \frac{\dot{a}}{a} n_i=0 .
\end{equation}
这仅仅反映了这样一个事实，即固定物理体积\textnote{$V \propto$ $a^3$}中的粒子数是守恒的，因此数密度随着体积的膨胀\textnote{$n_i \propto a^{-3}$}而被稀释，参见方程（1.3.86）。
为了包括相互作用的效应，我们在（3.3.80）的右边添加了一个碰撞项，
\begin{equation}
	\frac{1}{a^3} \frac{d\left(n_i a^3\right)}{d t}=C_i\left[\left\{n_j\right\}\right] .
\end{equation}
这就是玻尔兹曼方程。
碰撞项的形式取决于所考虑的具体相互作用。
三个或更多粒子之间的相互作用基本上是不可能的，因此我们可以将自己限制在单粒子的衰变和双粒子的散射或湮灭上来。
具体地，让我们考虑如下过程
\begin{equation}
	1+2 \rightleftarrows 3+4,
\end{equation}
即粒子1可以与粒子2湮灭产生粒子3和粒子4，或者逆过程可以产生粒子1和粒子2。
该反应涵盖了本章中所有的研究过程。
假设我们有兴趣去追踪粒子1的数密度$n_1$。
显然，粒子1丰度的变化率，是由该粒子的产生速率和消耗速率间的差值给出。
玻尔兹曼方程简单地将这一陈述形式化，
\begin{equation}
	\frac{1}{a^3} \frac{d\left(n_1 a^3\right)}{d t}=-\alpha n_1 n_2+\beta n_3 n_4 .
\end{equation}
我们对右边的理解如下：第一项，$-\alpha n_1 n_2$，描述了粒子1的毁灭，而第二项，$+\beta n_3 n_4$，描述了粒子1的生成。\myfootnote{后半句“描述了粒子1的生成”原文中没有，疑似漏写，依文意添加。}
注意到，第一项与$n_1$和$n_2$成比例，第二项与$n_3$和$n_4$成比例。
参数$\alpha=\langle\sigma v\rangle$是热平均截面。\footnote{你将在QFT和标准模型的课程中学习如何计算基本过程的截面$\sigma$。
	在本课程中，我们将简单地使用量纲分析来估计所需的几个截面。
	截面还取决于粒子1和2的相对速度$v$。
	而$\alpha=\langle\sigma v\rangle$中的尖括号表示对$v$取平均。}
第二个参数$\beta$与$\alpha$相关，注意到碰撞项必须在\textnote{化学}平衡中消失
\begin{equation}
	\beta=\left(\frac{n_1 n_2}{n_3 n_4}\right)_{\text {eq }} \alpha
\end{equation}
其中$n_i^{\text {eq }}$是我们上面计算的平衡数密度。
因此，我们有
\begin{equation}
	\frac{1}{a^3} \frac{d\left(n_1 a^3\right)}{d t}=-\langle\sigma v\rangle\left[n_1 n_2-\left(\frac{n_1 n_2}{n_3 n_4}\right)_{\mathrm{eq}} n_3 n_4\right] .
\end{equation}
按照 (3.2 .65) 中$  N_i \equiv n_i / s$的定义，用共动体积中的粒子数来表示，很有指导意义。这给出了
\begin{equation}
	\frac{d \ln N_1}{d \ln a}=-\frac{\Gamma_1}{H}\left[1-\left(\frac{N_1 N_2}{N_3 N_4}\right)_{\text {eq }} \frac{N_3 N_4}{N_1 N_2}\right]
\end{equation}
其中$\Gamma_1 \equiv n_2\langle\sigma v\rangle$。
在（3.3.86）的右边，包含了一个描述相互作用效率的因子$\Gamma_1 / H$和一个表征偏离平衡的因子$[1-\cdots]$。


对于$\Gamma_1 \gg H$，系统自然的状态是化学平衡。
假设我们从$N_1 \gg N_1^{\text {eq }}$开始\textnote{而$N_i \sim N_i^{\mathrm{eq}}, i=2,3,4$}。
方程（3.3.86）的右边为负，类型1的粒子被破坏，$N_1$朝着平衡值$N_1^{\text {eq }}$减小。
类似地，如果$N_1 \ll N_1^{\mathrm{eq}}$，则（3.3.86）的右边为正，$N_1$朝着$N_1^{\mathrm{eq}}$增大。
如果其它几种粒子偏离其平衡值，该结论也同样适用。
只要相互作用速率较大，系统就会迅速松弛到稳定状态，而（3.3.86）的右边会消失，粒子呈现其平衡丰度。


当反应速率降到哈伯标度以下时，$\Gamma_1<H$，（3.3.86）的右边会被抑制，粒子的共动密度接近于恒定的遗留密度，即$N_1$为常量。
如图3.2所示。
当我们研究早期宇宙中暗物质粒子的冻结\textnote{图3.7}、BBN中的中子\textnote{图3.9}和重结合中的电子\textnote{图3.8}时，我们将会看到相似类型的演化。





\subsection{暗物质遗留}



我们从暗物质冻结这一稍有推测的话题开始。
我称之为推测的，因为它需要我们对未知暗物质粒子的性质做出一些假设。
具体而言，我们将着重于暗物质是很弱地相互作用下有质量的粒子\textnote{WIMP}这一假设。




\subsubsection{冻结}

WIMPs 在高温下跟宇宙等离子体的剩余部分有着紧密联系，但随后在临界温度$T_f$时经历了冻结。
本节的目的是求解这种粒子的玻尔兹曼方程，确定其冻结的时间及其遗留丰度。


为了能够开始，我们必须对早期宇宙WIMP间的相互作用作一些假设。
我们想象，一个重的暗物质粒子$X$和它的反粒子$\bar{X}$湮灭，产生了两个轻的\textnote{基本上无质量的}粒子$\ell$和$\bar{\ell}$，
\begin{equation}
	X+\bar{X} \leftrightarrow \ell+\bar{\ell} .
\end{equation}
此外，我们假设轻的粒子能与宇宙等离子体紧密耦合，\footnote{例如，如果$\ell$和$\bar{\ell}$带电，则会出现这种情况。}
因此它们始终保持其平衡密度$n_{\ell}=n_{\ell}^{\text {eq }}$。
最后，我们假设$X$和$\bar{X}$之间没有初始的不对称，即$n_X=n_{\bar{X}}$。
在一个共动体积中，$N_X \equiv n_X / s$，WIMPs 粒子数演化的Boltzmann方程（3.3.85）写为
\begin{equation}
	\frac{d N_X}{d t}=-s\langle\sigma v\rangle\left[N_X^2-\left(N_X^{\mathrm{eq}}\right)^2\right]
\end{equation}
其中$N_X^{\mathrm{eq}} \equiv n_X^{\mathrm{eq}} / s$。
当温度与粒子质量有着相同的数量级时，$T \sim M_X$，
很多有趣的动力学现像将发生，因此可以方便地定义一个新的时间度量，
\begin{equation}
	x \equiv \frac{M_X}{T} .
\end{equation}
为了用$x$而不是$t$来写波尔兹曼方程，我们注意到
\begin{equation}
	\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\frac{M_X}{T}\right)=-\frac{1}{T} \frac{\mathrm{d} T}{d t} x \simeq H x,
\end{equation}
其中我们假设在冻结相关的时期内有$T \propto a^{-1}$\textnote{即$g_{\star S} \approx \text{常量} \equiv g_{\star S}\left(M_X\right)$}。
我们假设辐射占主导地位，因此$H=H\left(M_X\right) / x^2$。
然后方程（3.3.88）就变成了所谓的Riccati方程，
\begin{equation}
	\frac{d N_X}{d x}=-\frac{\lambda}{x^2}\left[N_X^2-\left(N_X^{\mathrm{eq}}\right)^2\right]
\end{equation}
其中我们定义了
\begin{equation}
	\lambda \equiv \frac{2 \pi^2}{45} g_{\star S} \frac{M_X^3\langle\sigma v\rangle}{H\left(M_X\right)} .
\end{equation}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.58\linewidth]{picture/0061.svg}
	\caption{当温度降至质量以下时，暗物质粒子的丰度。}
\end{figure}


我们将$\lambda$视为一个常数\textnote{在更基本的WIMPs理论中，这通常是一个很好的近似值}。
不幸的是，即使对于常数$\lambda$，方程（3.3.91）也没有解析解。
图$3.7$显示了两组不同$\lambda$值的数值解结果。
正如预期的那样，在非常高的温度下，$x<1$，我们有$N_X \approx N_X^{\mathrm{eq}} \simeq 1$。
然而，在低温下，$x \gg 1$，平衡丰度被指数压低，$N_X^{\mathrm{eq}} \sim e^{-x}$。
最终，$X$粒子将变得如此稀少，以至于它们无法以足够快的找到彼此，进而也就没法维持在平衡丰度。
数值的，我们发现冻结发生在大约$x_f \sim 10$处。
此时，玻尔兹曼方程的解开始显著偏离平衡丰度。



最后的遗留丰度，$N_X^{\infty} \equiv N_X(x=\infty)$，决定了暗物质的冻结密度。
它的大小是$\lambda$的函数，让我们来估计一下。
冻结后，$N_X$将远大于$N_X^{\mathrm{eq}}$\textnote{见图3.7}。
因此，在后期，我们可以丢掉玻尔兹曼方程中的$N_X^{\mathrm{eq}}$项，
\begin{equation}
	\frac{d N_X}{d x} \simeq-\frac{\lambda N_X^2}{x^2} \quad\left(x>x_f\right) .
\end{equation}
从$x_f$到$x=\infty$积分，我们有
\begin{equation}
	\frac{1}{N_X^{\infty}}-\frac{1}{N_X^f}=\frac{\lambda}{x_f},
\end{equation}
其中$N_X^f \equiv N_X\left(x_f\right)$。
通常，$N_X^f \gg N_X^{\infty}$\textnote{见图3.7}，因此一个简单的解析近似为
\begin{equation}
	N_X^{\infty} \simeq \frac{x_f}{\lambda} .
\end{equation}
当然，这仍然取决于未知的冻结时间\textnote{或温度}$x_f$。
如图3.7所示，一个很好的数量级估计值为$x_f \sim 10$。
$x_f$的值对$\lambda$的精确值并不十分敏感，即$x_f(\lambda) \propto|\ln \lambda|$。
\begin{exercise}
	---从$\Gamma\left(x_f\right)=H\left(x_f\right)$中估计$x_f(\lambda)$。
\end{exercise}
方程（3.3.95）预测，冻结丰度$N_X^{\infty}$随着交互作用速率$\lambda$的增加而降低。
这从直观上来说很好理解：较大的相互作用维持平衡的时间更长，更能深入到玻尔兹曼抑制区。
由于（3.3.95）中的估算非常有效，我们将在下文继续使用。


\subsubsection{WIMP奇迹$ ^{*} $}


冻结时的暗物质遗留丰度，与当今的暗物质密度有如下联系：
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\Omega_X & \equiv \frac{\rho_{X, 0}}{\rho_{\text {crit }, 0}} \\
		& =\frac{M_X n_{X, 0}}{3 M_{\mathrm{pl}}^2 H_0^2}=\frac{M_X N_{X, 0} s_0}{3 M_{\mathrm{pl}}^2 H_0^2}=M_X N_X^{\infty} \frac{s_0}{3 M_{\mathrm{pl}}^2 H_0^2} .
	\end{aligned}
\end{equation}
其中，我们使用了冻结后WIMPs粒子数守恒，即$N_{X, 0}=N_X^{\infty}$。
代入$N_X^{\infty}=x_f / \lambda$和$s_0 \equiv s\left(T_0\right)$，有
\begin{equation}
	\Omega_X=\frac{H\left(M_X\right)}{M_X^2} \frac{x_f}{\langle\sigma v\rangle} \frac{g_{\star S}\left(T_0\right)}{g_{\star S}\left(M_X\right)} \frac{T_0^3}{3 M_{\mathrm{pl}}^2 H_0^2},
\end{equation}
其中，我们使用了（3.3.92）和（3.2.62）。
使用（3.2.67）表示$H\left(M_X\right)$，得
\begin{equation}
	\Omega_X=\frac{\pi}{9} \frac{x_f}{\langle\sigma v\rangle}\left(\frac{g_{\star}\left(M_X\right)}{10}\right)^{1 / 2} \frac{g_{\star S}\left(T_0\right)}{g_{\star S}\left(M_X\right)} \frac{T_0^3}{M_{\mathrm{pl}}^3 H_0^2} .
\end{equation}
最后，我们代入$T_0$和$H_0$的测量值，并使用$g_{\star S}\left(T_0\right)=3.91$和$g_{\star S}\left(M_X\right)=$ $g_{\star}\left(M_X\right)$，有
\begin{equation}
	\Omega_X h^2 \sim 0.1\left(\frac{x_f}{10}\right)\left(\frac{10}{g_{\star}\left(M_X\right)}\right)^{1 / 2} \frac{10^{-8} \mathrm{GeV}^{-2}}{\langle\sigma v\rangle} .
\end{equation}
这将再现观察到的暗物质密度，如果
\begin{equation*}
	\sqrt{\langle\sigma v\rangle} \sim 10^{-4} \mathrm{GeV}^{-1} \sim 0.1 \sqrt{G_F} .
\end{equation*}
一个具有弱相互作用截面性质的热遗留，给了正确的暗物质丰度，这一事实被称为WIMP奇迹。






\subsection{重结合}



早期宇宙历史上的一个重要事件是原子的首次形成。
大约在$  1 \ eV  $以上的温度时，宇宙仍然是由自由电子和原子核组成的等离子体。
光子通过康普顿散射与电子紧密耦合，而电子又通过库仑散射与质子有着强烈地相互作用。
这时中性氢原子还非常希少。
当温度变得足够低时，电子和原子核相结合形成了中性的原子\textnote{即重结合\footnote{不要问我为什么这叫做重结合；这是电子和原子核的第一次结合。}}，自由电子的密度急剧下降。
光子的平均自由程迅速增加，并且变得比视界距离还长。
光子从物质中退耦出来，从此宇宙变得透明起来。
今天，这些光子成为了宇宙微波背景。



\subsubsection{Saha平衡}

让我们从$T>1 \mathrm{eV}$开始，这时重子和光子通过电磁相关反应仍然维持在平衡态，例如
\begin{equation}
	e^{-}+p^{+} \leftrightarrow \mathrm{H}+\gamma .
\end{equation}
从$T<m_i, i=\{e, p, \mathrm{H}\}$后，我们有如下的平衡丰度
\begin{equation}
	n_i^{\mathrm{eq}}=g_i\left(\frac{m_i T}{2 \pi}\right)^{3 / 2} \exp \left(\frac{\mu_i-m_i}{T}\right),
\end{equation}
其中$\mu_p+\mu_e=\mu_{\mathrm{H}}$\textnote{回忆$\mu_\gamma=0$}。
为了消除对化学势的依赖，我们考虑以下比率
\begin{equation}
	\left(\frac{n_{\mathrm{H}}}{n_e n_p}\right)_{\mathrm{eq}}=\frac{g_{\mathrm{H}}}{g_e g_p}\left(\frac{m_{\mathrm{H}}}{m_e m_p} \frac{2 \pi}{T}\right)^{3 / 2} e^{\left(m_p+m_e-m_{\mathrm{H}}\right) / T} .
\end{equation}
在前因子中，我们可以使用$m_{\mathrm{H}} \approx m_p$，但在指数上，$m_{\mathrm{H}}$和$m_p+m_e$之间的微小差异是至关重要：这是氢的结合能
\begin{equation}
	B_{\mathrm{H}} \equiv m_p+m_e-m_{\mathrm{H}}=13.6 \  \mathrm{eV} .
\end{equation}
内部自由度数是$g_p=g_e=2$，$g_{\mathrm{H}}=4 $。\footnote{氢原子中电子和质子的自旋，可以是对齐的或反对齐的，这给出了一个单重态和一个三重态，因此$g_{\mathrm{H}}=1+3=4$。}
据我们所知，宇宙没有带电，所以我们有$n_e=n_p$。
因此等式（3.3.102）变为
\begin{equation}
	\left(\frac{n_{\mathrm{H}}}{n_e^2}\right)_{\mathrm{eq}}=\left(\frac{2 \pi}{m_e T}\right)^{3 / 2} e^{B_{\mathrm{H}} / T}
\end{equation}


我们希望后面使用如下按比率定义的自由电子分数
\begin{equation}
	X_e \equiv \frac{n_e}{n_b},
\end{equation}
其中$n_b$是重子密度。
我们可以将重子密度写为
\begin{equation}
	n_b=\eta_b n_\gamma=\eta_b \times \frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} T^3,
\end{equation}
其中$\eta_b=5.5 \times 10^{-10}\left(\Omega_b h^2 / 0.020\right)$是重子与光子的比率。
为了简化讨论，让我们忽略除质子以外的所有原子核\textnote{（在数量上）超过$90 \%$的原子核都是质子}。
总的重子数密度可以近似写为$n_b \approx n_p+n_{\mathrm{H}}=n_e+n_{\mathrm{H}}$，因此
\begin{equation}
	\frac{1-X_e}{X_e^2}=\frac{n_{\mathrm{H}}}{n_e^2} n_b
\end{equation}
将（3.3.104）和（3.3.106）代入，我们就得到了所谓的Saha方程，
\begin{equation}
	\left(\frac{1-X_e}{X_e^2}\right)_{\mathrm{eq}}=\frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} \eta\left(\frac{2 \pi T}{m_e}\right)^{3 / 2} e^{B_{\mathrm{H}} / T} .
\end{equation}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.6\linewidth]{picture/0064.svg}
	\caption{作为红移函数的自由电子分数。}
\end{figure}


图$3.8$显示出结合了Saha近似（3.3.108）和更精确的数值处理\textnote{见下文}，所预测的自由电子分数随红移的演化。
Saha近似正确地显示了重结合的开始，但如果其目的是确定电子冻结后的残留密度，这显然是不够的。





\subsubsection{氢重结合}


让我们将重结合的温度$T_{\text {rec }}$定义为\footnote{选择$X_e\left(T_{r e c}\right)=10^{-1}$，这里没啥深意。它看起来很武断。}
方程（3.3.108）中$ X_e=10^{-1}$时的温度，即为有$90 \%$的电子与质子结合形成氢时的温度。
我们发现
\begin{equation}
	T_{\text {rec }} \approx 0.3 \ \mathrm{eV} \simeq 3600 \mathrm{~K} .
\end{equation}
这里$T_{\text {rec }} \ll B_{\mathrm{H}}=13.6 \ \mathrm{eV}$的原因是，每一个氢原子周围都有非常多的光子，$\eta_b \sim 10^{-9} \ll 1$。
即使当$T<B_{\mathrm{H}}$时，光子分布的高能尾部也包含着众多能量$E>B_{\mathrm{H}}$的光子，因此它们可以电离氢原子。


\begin{exercise}
---确认（3.3.109）中的估值。
\end{exercise}


使用$T_{\text {rec }}=T_0\left(1+z_{\text {rec }}\right)$，这里$T_0=2.7 \mathrm{~K}$，给出了重结合的红移，
\begin{equation}
	z_{r e c} \approx 1320 .
\end{equation}
由于物质辐射相等是在$z_{e q} \simeq 3500$处，我们得出结论，重结合发生在物质主导的时代。
使用$a(t)=\left(t / t_0\right)^{2 / 3}$，我们可获得重结合的一个时间估计
\begin{equation}
	t_{\text {rec }}=\frac{t_0}{\left(1+z_{r e c}\right)^{3 / 2}} \sim 29,0000 \ \mathrm{yrs}
\end{equation}


\subsubsection{光子退耦}

光子通过与电子的相互作用，跟原初等离子体的耦合最为强烈
\begin{equation}
	e^{-}+\gamma \leftrightarrow e^{-}+\gamma,
\end{equation}
其相互作用速率由下式给出
\begin{equation}
	\Gamma_\gamma \approx n_e \sigma_T,
\end{equation}
其中$\sigma_T \approx 2 \times 10^{-3} \  \mathrm{MeV}^{-2}$是汤姆逊截面。
由于$\Gamma_\gamma \propto n_e$，相互作用速率随着自由电子密度的降低而减小。
光子和电子的解耦大致发生在相互作用速率变得小于膨胀速率时，
\begin{equation}
	\Gamma_\gamma\left(T_{\text {dec }}\right) \sim H\left(T_{\text {dec }}\right) .
\end{equation}
写作
\begin{align}
	\begin{split}
		& \Gamma_\gamma\left(T_{\text {dec }}\right)=n_b X_e\left(T_{d e c}\right) \sigma_T=\frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} \eta_b \sigma_T X_e\left(T_{\text {dec }}\right) T_{\text {dec }}^3, 
	\end{split}\\
		\begin{split}
		& H\left(T_{\text {dec }}\right)=H_0 \sqrt{\Omega_m}\left(\frac{T_{\text {dec }}}{T_0}\right)^{3 / 2} .
	\end{split}
\end{align}
我们得到
\begin{equation}
	X_e\left(T_{\text {dec }}\right) T_{\text {dec }}^{3 / 2} \sim \frac{\pi^2}{2 \zeta(3)} \frac{H_0 \sqrt{\Omega_m}}{\eta \sigma_T T_0^{3 / 2}} .
\end{equation}
使用$X_e\left(T_{d e c}\right)$的Saha方程，我们有
\begin{equation}
	T_{\text {dec }} \sim 0.27 \mathrm{eV} .
\end{equation}
注意，尽管$T_{\text {dec }}$与$T_{\text {rec }}$相差不大，但在重结合和退耦之间，电离分数的降低却非常显著，$X_e\left(T_{\text {rec }}\right) \simeq 0.1 \rightarrow X_e\left(T_{\text {dec }}\right) \simeq 0.01$。
这表明，要使宇宙对光子的传播变得透明，\textnote{宇宙的电}中性在很大程度上是必需的。


\begin{exercise}
---使用（3.3.108），确认（3.3.118）中的估值。
\end{exercise}

退耦的红移和时间为
\begin{align}
	\begin{split}
		z_{\text {dec }} & \sim 1100, 
			\end{split}\\
		\begin{split}
		t_{d e c} & \sim 380000 \mathrm{yrs} .
	\end{split}
\end{align}
解耦后，光子能自由地流动。
今天宇宙微波背景的观测，使我们能够对最后散射时的条件进行探测。


\subsubsection{电子冻结$ ^{*} $}


在图3.8中，我们看到，当（3.3.100）中的相互作用变得低效时，电子的剩余电离分数被冻结。
为了求得冻结后的自由电子分数，我们需要去求解玻尔兹曼方程，就像我们对暗物质冻结所做的那样。


把我们的非平衡主方程（3.3.85）应用于反应（3.3.100）中。
为了得到一个合理的近似值，中性氢始终保持它的平衡丰度，$n_{\mathrm{H}} \approx n_{\mathrm{H}}^{\mathrm{eq}}$。
电子密度的玻尔兹曼方程可以写成
\begin{equation}
	\frac{1}{a^3} \frac{d\left(n_e a^3\right)}{d t}=-\langle\sigma v\rangle\left[n_e^2-\left(n_e^{\mathrm{eq}}\right)^2\right] .
\end{equation}
实际上，根据第一性原理来计算热平均重结合截面$\langle\sigma v\rangle$是相当复杂的，但合理的近似结果是
\begin{equation}
	\langle\sigma v\rangle \simeq \sigma_T\left(\frac{B_{\mathrm{H}}}{T}\right)^{1 / 2} .
\end{equation}
考虑到$n_e=n_b X_e$和$n_b a^3= \text{常量}$，我们有
\begin{equation}
	\frac{d X_e}{d x}=-\frac{\lambda}{x^2}\left[X_e^2-\left(X_e^{\mathrm{eq}}\right)^2\right] \text {, }
\end{equation}
其中$x \equiv B_{\mathrm{H}} / T$。
我们已经利用了宇宙在重结合时是由物质主导的这一个事实，并且定义了
\begin{equation}
	\lambda \equiv\left[\frac{n_b\langle\sigma v\rangle}{x H}\right]_{x=1}=3.9 \times 10^3\left(\frac{\Omega_b h}{0.03}\right) .
\end{equation}
\begin{exercise}
	---推导公式（3.3.123）。
\end{exercise}
注意到，方程（3.3.123）与暗物质冻结的Riccati方程（3.3.91）完全相同。
因此，我们可以立即写出电子冻结丰度，参见方程式（3.3.95），
\begin{equation}
	X_e^{\infty} \simeq \frac{x_f}{\lambda}=0.9 \times 10^{-3}\left(\frac{x_f}{x_{\text {rec }}}\right)\left(\frac{0.03}{\Omega_b h}\right) .
\end{equation}
假设冻结发生的时间接近于重结合的时间，$x_{r e c} \approx 45$，我们可以很好地得到残留电子丰度\textnote{见图3.8}。



\begin{exercise}
---使用$\Gamma_e\left(T_f\right) \sim H\left(T_f\right)$，证明冻结温度满足
	\begin{equation}
		X_e\left(T_f\right) T_f=\frac{\pi^2}{2 \zeta(3)} \frac{H_0 \sqrt{\Omega_m}}{\eta \sigma_T T_0^{3 / 2} B_{\mathrm{H}}^{1 / 2}} .
	\end{equation}
再使用Saha方程说明$T_f \sim 0.25 \ \mathrm{eV}$，因此得到$x_f \sim 54$。
\end{exercise}



\subsection{大爆炸核合成}


让我们回到$T \sim 1 \mathrm{MeV}$时。
光子、电子和正电子都处于平衡状态。
中微子即将退耦。
重子是非相对论性的，因此在数量上比相对论性粒子少得多。
然而，我们现在想研究这些少量的重子物质发生了什么。
由于重子数守恒，核子的总数保持不变。
这此重子数可以是质子和中子的形式，也可以是更重的原子核。
弱核反应可以将中子和质子相互转化，强核反应可以从它们中生成原子核。
在本节中，我想向给大家展示一下，轻元素氢、氦和锂是如何在大爆炸中合成的。
我不会给出大爆炸核合成\textnote{BBN}所有复杂细节的完整描述。
相反，本节的目标将更加温和：我想让你从理论上去理解一个数：氦与氢的密度之比，
\begin{equation}
	\frac{n_{\mathrm{He}}}{n_{\mathrm{H}}} \sim \frac{1}{16} .
\end{equation}
图3.9总结了四个步骤，这将把我们从质子和中子引向氦。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.73\linewidth]{picture/0067.svg}
	\caption{早期宇宙氦生成的数值结果。}
\end{figure}



\subsubsection{第零步：平衡丰度}


从原理上来说，BBN是一个非常复杂的过程，涉及许多耦合的玻尔兹曼方程来追踪所有的核丰度。
然而，在实践中，运用下面两个简化将使得我们的生活轻松许多：
\begin{enumerate}
	%\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
	% A(\Alph) a(\alph) I(\Roman) i(\roman) 1(\arabic)
	%设定全局标号series=example	%引用全局变量resume=example
	%[topsep=-0.3em,parsep=-0.3em,itemsep=-0.3em,partopsep=-0.3em]
	%可使用leftmargin调整列表环境左边的空白长度 [leftmargin=0em]
	\item
没有比氦更重的元素。

在可察觉的水平上，基本上没有比氦更重的元素生成。
所以我们唯一需要追踪的原子核是氢和氦，以及它们的同位素：氘、氚和${ }^3 \mathrm{He}$。
	
	
	
	\item
在$0.1 \mathrm{MeV}$以上只有中子和质子。
	 
在$T \approx 0.1 \mathrm{MeV}$以上，只有自由的质子和中子存在，而其他轻原子核尚未形成。
因此，我们可以首先求出中子/质子之比，然后将这个丰度作为合成氘、氦等的输入。

	
	
\end{enumerate}


让我们证明，在$0.1 \mathrm{MeV}$以上时，我们确实需要将注意力限制在中子和质子上。
为了做到这一点，我们比较不同原子核的平衡丰度：
\begin{itemize}
\item 
首先，我们确定中子和质子的相对丰度。
在早期宇宙中，中子和质子通过弱相互作用耦合，例如$\beta$衰变和逆$\beta$衰变
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		& n+\nu_e \leftrightarrow p^{+}+e^{-}, \\
		& n+e^{+} \leftrightarrow p^{+}+\bar{\nu}_e .
	\end{aligned}
\end{equation}
让我们假设电子和中微子的化学势都很小，可以忽略不计，因此$\mu_n=\mu_p$。
对$n_i^{\mathrm{eq}}$使用（3.3.101），我们得到
\begin{equation}
	\left(\frac{n_n}{n_p}\right)_{\mathrm{eq}}=\left(\frac{m_n}{m_p}\right)^{3 / 2} e^{-\left(m_n-m_p\right) / T} .
\end{equation}
在第一个因子中，质子和中子质量间的微小差异可以忽略不计，但在指数上的却是至关重要，必须保持。
因此，我们有
\begin{equation}
	\left(\frac{n_n}{n_p}\right)_{\mathrm{eq}}=e^{-\mathcal{Q} / T},
\end{equation}
其中$\mathcal{Q} \equiv m_n-m_p=1.30 \mathrm{MeV}$。
因此对于$T \gg 1 \mathrm{MeV}$，中子的数量与质子的数量相同。
然而，对于$T<1 \mathrm{MeV}$，中子分数变得很小。
如果弱相互作用能够有效运行，无限期地保持平衡，那么中子丰度将降至零。
幸运的是，在现实世界中，弱相互作用并不是那么有效。



\item 
接下来，我们考虑氘\textnote{氢的同位素，有一个质子和一个中子}。这是在如下反应中产生的
\begin{equation}
	n+p^{+} \leftrightarrow \mathrm{D}+\gamma .
\end{equation}
由于$\mu_\gamma=0$，我们有$\mu_n+\mu_p=\mu_{\mathrm{D}}$。
为了消除对化学势的依赖，我们考虑
\begin{equation}
	\left(\frac{n_{\mathrm{D}}}{n_n n_p}\right)_{\mathrm{eq}}=\frac{3}{4}\left(\frac{m_{\mathrm{D}}}{m_n m_p} \frac{2 \pi}{T}\right)^{3 / 2} e^{-\left(m_{\mathrm{D}}-m_n-m_p\right) / T},
\end{equation}
其中，与之前一样，我们对每个$n_i^{\text {eq }}$都使用了（3.3.101）式\textnote{这里$g_{\mathrm{D}}=3$和$g_p=g_n=2$}。
在前因子中，$m_{\mathrm{D}}$可以设定等于$2 m_n \approx 2 m_p \approx 1.9 \ \mathrm{GeV}$，但在指数中，$m_n+m_p$ 和 $m_{\mathrm{D}}$之间的微小差异是至关重要的：它是氘的结合能
\begin{equation}
	B_{\mathrm{D}} \equiv m_n+m_p-m_{\mathrm{D}}=2.22 \mathrm{MeV} .
\end{equation}
因此，只要化学平衡保持，氘与质子的比率就为
\begin{equation}
	\left(\frac{n_{\mathrm{D}}}{n_p}\right)_{\mathrm{eq}}=\frac{3}{4} n_n^{\mathrm{eq}}\left(\frac{4 \pi}{m_p T}\right)^{3 / 2} e^{B_{\mathrm{D}} / T}
\end{equation}
为估算出数量级，我们用重子密度来近似中子密度，并用光子温度和重子--光子比率来表示，
\begin{equation}
	n_n \sim n_b=\eta_b n_\gamma=\eta_b \times \frac{2 \zeta(3)}{\pi^2} T^3 .
\end{equation}
于是方程式（3.3.134）变为
\begin{equation}
	\left(\frac{n_{\mathrm{D}}}{n_p}\right)_{\mathrm{eq}} \approx \eta_b\left(\frac{T}{m_p}\right)^{3 / 2} e^{B_{\mathrm{D}} / T}
\end{equation}
重子与光子之比$\eta_b$很小，抑制了氘的产生，直到温度降低到结合能$B_{\mathrm{D}}$以下。
温度必须下降的足够低，以致于$e^{B_{\mathrm{D}} / T}$能与$\eta_b \sim 10^{-9}$竞争。
这同样适用于所有其他的原子核。
温度在$0.1 \mathrm{MeV}$以上，几乎所有的重子都是中子和质子的形式。
大约在这个时候，氘和氦也被产生，但是此时该的反应速率太低，以致于无法产生任何更重的元素。



\end{itemize}







%%%%
%%%%
\subsubsection{第一步：中子冻结}

中子与质子的原初比率对BBN的结果来说特别重要，因为基本上所有的中子都被并入${ }^4 \mathrm{He}$中。
正如我们所看到的，弱相互作用使得中子和质子保持平衡，直到$T \sim  1 \ \mathrm{MeV}$。
在此之后，我们必须求解玻尔兹曼方程（3.3.85）来追踪中子的丰度。
由于这有点复杂，我不会详细描述\textnote{但可参见下面方框中内容}。
相反，我们将对此答案进行不是那么严格的估计。





很方便地将中子分数定义为
\begin{equation}
	X_n \equiv \frac{n_n}{n_n+n_p} .
\end{equation}
从中子与质子的平衡比（3.3.130）中，我们可以得到
\begin{equation}
	X_n^{\mathrm{eq}}(T)=\frac{e^{-\mathcal{Q} / T}}{1+e^{-\mathcal{Q} / T}}
\end{equation}
中微子遵循着这样的平衡丰度，直到在$ T_f \sim T_{d e c} \sim 0.8 \mathrm{MeV}$时中微子解耦\footnote{如果幸运的话$T_f \sim \mathcal{Q}$。
	这似乎是一种巧合：$\mathcal{Q}$由强相互作用和电磁相互作用决定，而$T_f$的值由弱相互作用决定。
	想象一个$T_f \ll \mathcal{Q}$的世界！}
\textnote{见$ \S 3.2.4 $}。
这个时候，如（3.3.128）这样的弱相互作用过程已不再有效。
此时的平衡丰度为
\begin{equation}
	X_n^{\mathrm{eq}}(0.8 \mathrm{MeV})=0.17
\end{equation}
我们将以此作为最终冻结丰度的粗略估计，
\begin{equation}
	X_n^{\infty} \sim X_n^{\mathrm{eq}}(0.8 \mathrm{MeV}) \sim \frac{1}{6} .
\end{equation}
我们把结果转换为分数，以表明这只是一个数量级的估计。




\begin{omnipotent}{精确对待}
	---好的，既然你问了，我会给你展示一些更精确的处理细节。
	要说清楚的是，这个盒子里的内容肯定是不作考查的！
	
使用Boltzmann方程（3.3.85），其中$1$为中子、$3$为质子和$2,4$为轻子\textnote{$n_{\ell}=n_{\ell}^{\mathrm{eq}}$}，我们有
	\begin{equation}
		\frac{1}{a^3} \frac{d\left(n_n a^3\right)}{d t}=-\Gamma_n\left[n_n-\left(\frac{n_n}{n_p}\right)_{\text {eq }} n_p\right],
	\end{equation}
其中我们将中子/质子的转化率定义为$\Gamma_n \equiv n_{\ell}\langle\sigma v\rangle$。
代入（3.3.137）和（3.3.138），我们有
	\begin{equation}
		\frac{d X_n}{d t}=-\Gamma_n\left[X_n-\left(1-X_n\right) e^{-\mathcal{Q} / T}\right]
	\end{equation}
解决这个问题时，我们不是去试图解出$X_n$作为时间的函数，
而是引入了一个新的演化变量，
\begin{equation}
	x \equiv \frac{\mathcal{Q}}{T}
\end{equation}
我们将（3.3.142）的左边写成
\begin{equation}
	\frac{d X_n}{d t}=\frac{d x}{d t} \frac{d X_n}{d x}=-\frac{x}{T} \frac{d T}{d t} \frac{d X_n}{d x}=x H \frac{d X_n}{d x},
\end{equation}
在最后一个等式中，我们使用了$T \propto a^{-1}$。
在BBN期间，我们有
\begin{equation}
	H=\sqrt{\frac{\rho}{3 M_{\mathrm{pl}}^2}}=\underbrace{\frac{\pi}{3} \sqrt{\frac{g_{\star}}{10}} \frac{\mathcal{Q}^2}{M_{\mathrm{pl}}}}_{\equiv H_1 \approx 1.13 \  s^{-1}} \frac{1}{x^2}, \quad \text { with } \quad g_{\star}=10.75 .
\end{equation}
方程式（3.3.142）则变为
\begin{equation}
	\frac{d X_n}{d x}=\frac{\Gamma_n}{H_1} x\left[e^{-x}-X_n\left(1+e^{-x}\right)\right]
\end{equation}	
最后，我们需要一个中子--质子转换率$\Gamma_n$的表达式。
您可以在Dodelson的书中找到所需QFT计算的概述。
这里，我只是引用了答案
\begin{equation}
	\Gamma_n(x)=\frac{255}{\tau_n} \cdot \frac{12+6 x+x^2}{x^5},
\end{equation}
其中，$\tau_n=886.7 \pm 0.8 \mathrm{sec}$是中子的寿命。
可以看出，转换时间$\Gamma_n^{-1}$相当于温度$ \sim 1 \  \mathrm{MeV}$时宇宙的年龄。
此后，$T \propto t^{-1 / 2}$和$\Gamma_n \propto T^3 \propto t^{-3 / 2}$，因此中子--质子的转换时间$\Gamma_n^{-1} \propto t^{3 / 2}$变得比宇宙的年龄还长。
因此，我们得到了冻结，即反应速率变慢，中子/质子的比率接近常数。
实际上，通过数值求解方程（3.3.146），
我们发现\textnote{见图3.9}
\begin{equation}
	X_n^{\infty} \equiv X_n(x=\infty)=0.15 \text {. }
\end{equation}	
	
\end{omnipotent}






\subsubsection{第二步：中子衰变}


当温度低于$0.2 \mathrm{MeV}$\textnote{或$t \gtrsim 100 \  \mathrm{sec}$}时，中子有限的寿命变得重要起来。
为了在我们的计算中包括中子衰变，我们只需将冻结丰度（3.3.148）乘上一个指数衰变因子
\begin{equation}
	X_n(t)=X_n^{\infty} e^{-t / \tau_n}=\frac{1}{6} e^{-t / \tau_n},
\end{equation}
其中$\tau_n=886.7 \pm 0.8 \ \mathrm{sec}$。






\subsubsection{第三步：氦聚变\protect\myfootnote{这里的氦聚变指的是包含氦原子核的聚变}}


此时，宇宙中主要是质子和中子。
氦不能直接形成，因为密度太低，对于三个或更多个进入原子核的反应来说，可用的时间太短，以致于无法以任何可观测到的速率发生。
因此，较重的原子核必须在两粒子的反应中由较轻的原子核依次构建而成。
所以，形成的第一类原子核是氘，
\begin{equation}
	n+p^{+} \leftrightarrow \mathrm{D}+\gamma .
\end{equation}
只有当氘是可获得时，才能形成氦，
\begin{align}
	\begin{split}
		\mathrm{D}+p^{+} & \leftrightarrow{ }^3 \mathrm{He}+\gamma, 
	\end{split}\\
		\begin{split}
		\mathrm{D}+{ }^3 \mathrm{He} & \leftrightarrow{ }^4 \mathrm{He}+p^{+} .
	\end{split}
\end{align}
由于氘是由中子和质子直接形成的，只要有足够的自由中子，氘就可以遵循其平衡丰度。
然而，由于氘的结合能相当小，氘的丰度想变大得在很晚的时期\textnote{$T<100  \ \mathrm{keV})$}。
因此，虽然较重的原子核具有较大的结合能，具有较大的平衡丰度，但在没有足够的氘产生之前，它们无法形成。
这就是氘瓶颈。
只有当有足够的氘时，氦才能被产生。
为了得到核合成时间的粗略估计，我们决定将氘分数平衡时的温度$T_{\text {nuc }}$作为其一阶近似，即$\left(n_{\mathrm{D}} / n_p\right)_{\mathrm{eq}} \sim 1$时。
使用（3.3.136），有
\begin{equation}
	T_{\text {nuc }} \sim 0.06 \ \mathrm{MeV},
\end{equation}
通过$g_{\star}=3.38$的（3.2 .68）式，转换为
\begin{equation}
	t_{\text {nuc }}=120 \sec \left(\frac{0.1 \mathrm{MeV}}{T_{\text {nuc }}}\right)^2 \sim 330 \  \mathrm{sec} .
\end{equation}
\begin{omnipotent}{点评}
	---从图3.9中可以看到，一个更好的估计值是$n_{\mathrm{D}}^{\mathrm{eq}}\left(T_{\text {nuc }}\right) \simeq 10^{-3} n_p^{\mathrm{eq}}\left(T_{\text {nuc }}\right)$。
	这给出了$T_{\text {nuc }} \simeq 0.07 \mathrm{MeV}$和$t_{\mathrm{nuc}} \simeq 250 \mathrm{sec}$。
	请注意，$t_{\mathrm{nuc}} \ll \tau_n$，因此方程（3.3.149）对$t_{\text {nuc }}$的估计值不太敏感。
\end{omnipotent}
将$t_{\text {nuc }} \sim 330 \ \mathrm{sec}$代入（3.3.149），我们有
\begin{equation}
	X_n\left(t_{\mathrm{nuc}}\right) \sim \frac{1}{8} .
\end{equation}




由于氦的结合能大于氘的结合能，因此玻尔兹曼因子$e^{B / T}$偏向于氦而不是氘。
事实上，在图$3.9$中我们看到，在氘之后氦几乎立刻产生。
在$t \sim t_{\mathrm{nuc}}$时所剩余的中子，几乎所有都被处理进了${ }^4 \mathrm{He}$。
由于一个${ }^4 \mathrm{He}$的原子核需要两个中子进入，最终的${ }^4 \mathrm{He}$丰度等于$t_{\mathrm{nuc}}$时中子丰度的一半，即$n_{\mathrm{He}}=\frac{1}{2} n_n\left(t_{\mathrm{nuc}}\right)$，或
\begin{equation}
	\frac{n_{\mathrm{He}}}{n_{\mathrm{H}}}=\frac{n_{\mathrm{He}}}{n_p} \simeq \frac{\frac{1}{2} X_n\left(t_{\mathrm{nuc}}\right)}{1-X_n\left(t_{\mathrm{nuc}}\right)} \sim \frac{1}{2} X_n\left(t_{\mathrm{nuc}}\right) \sim \frac{1}{16},
\end{equation}
这正如我们希望看到的那样。
有时，将结果表示为氦的质量分数，
\begin{equation}
	\frac{4 n_{\mathrm{He}}}{n_{\mathrm{H}}} \sim \frac{1}{4} .
\end{equation}
这一预测与在宇宙中观测到的氦相一致\textnote{见图3.10}。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.41\linewidth]{picture/0072.svg}
	\caption{理论预测\textnote{彩色带}与观测约束\textnote{灰色带}。}
\end{figure}






\subsubsection{BBN作为BSM物理的探针\protect\myfootnote{这里BBN是大爆炸核合成\textnote{Big Bang nucleosynthesis}的缩写，而BSM为超标准模型\textnote{beyond the Standard Model}的缩写.}}




氦的最终质量分数，我们已经得到，但我们还应该记住，这个数取决于以下几个输入参数：
\begin{itemize}
\item 
$g_{\star}$：相对论自由度数决定了辐射时期的哈勃参数，$H \propto g_{\star}^{1 / 2}$，因此影响了冻结温度
\begin{equation}
	G_F^2 T_f^5 \sim \sqrt{G_N g_{\star}} T_f^2 \quad \rightarrow \quad T_f \propto g_{\star}^{1 / 6} .
\end{equation}
$T_f$随着$g_{\star}$的增加而增加，这会增加冻结时的$n / p$比率，从而增加最终的氦丰度。

\item 
$\tau_n$ : 一个长的中子寿命将会减少冻结后中子衰变的量，因此将增加最终的氦丰度。


\item 
$\mathcal{Q}$ : 中子和质子间较大的质量差会降低冻结时的$n / p$比率，因此会降低最终的氦丰度。


\item 
$\eta_b$ : 氦的量随着$\eta_b$的增加而增加，对于更大的重子数密度，核合成开始得更早。


\item 
$G_N$ : 重力强度的增加将导致冻结温度的增加，$T_f \propto$ $G_N^{1 / 6}$，因此会增加最终的氦丰度。


\item 
$G_F$ : 弱力的增强将导致冻结温度的下降，$T_f \propto G_F^{-2 / 3}$，从而降低最终的氦丰度。


\end{itemize}
改变输入，例如宇宙早期中超越标准模型\textnote{BSM}的新物理，将改变BBN的预测。在此种意义下，BBN成为一个基础物理学的探针。





\subsubsection{轻元素合成$ ^{*} $}





为了确定其他轻元素的丰度，必须对耦合的玻尔兹曼方程进行数值求解\textnote{此类计算结果见图$3.11$}。
图3.10显示了，轻元素丰度作为$\eta_b$\textnote{或$\Omega_b$}函数的理论预测。\footnote{图$3.11$中的曲线形状很容易理解：
	${ }^4 \mathrm{He}$的丰度随着$\eta_b$的增加而增加，因为对于更大的重子密度，核合成开始得更早。
	$ D $和${ }^{3} He$ 通过核聚变燃烧，因此它们的丰度随着$\eta_b$的增加而降低。
	最后，${ }^7 \mathrm{Li}$被低$\eta_b$的质子破坏，其效率随着$\eta_b$的增加而增加。
	另一方面，随着$\eta_b$的增加，锂之后${ }^{7} Be$ 被生成的效率也增加。
	这也就解释了曲线${ }^7 \mathrm{Li}$中的谷。}
事实上，我们发现这与观测结果在定量上符合的相当好，这是大爆炸模型巨大的胜利之一。


\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\includesvg[width=0.55\linewidth]{picture/0073}
	\caption{轻元素丰度演化的数值结果。}
\end{figure}

